T3 Triángulos y su Clasificación

Triángulo.

Definición: Es la porción de plano la cual se encuentra limitada por 3 rectas que se cruzan una a una en puntos llamados vértices.

Los triángulos se pueden clasificar a partir de dos criterios, según la longitud o medida de sus lados o según la amplitud de los ángulos que lo conforman.

Según sus lados:

1) Equilátero: la medida de sus 3 lados y sus tres ángulos es la misma

2) Isósceles: la medida de dos de sus lados es la misma

3) Escaleno: la medida de sus tres lados es diferente

Según sus ángulos:

1) Acutángulo: sus 3 ángulos son agudos

2) Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso

3) Rectángulo: tiene un ángulo recto

2T 5B Definición de ángulo y sus clasificaciones

Ángulo, es la figura geométrica formada por dos semirrectas, las cuales tienen un punto en común, la abertura o separación entre ellas con respecto al punto no común, es a lo que se llama ángulo.                                                                                

El punto que tienen en común estas semirrectas, se le conoce con el nombre de vértice y cada una de ellas se llama lados.

Los ángulos se pueden clasificar según su magnitud o amplitud de la siguiente manera:

1) Ángulos agudos: son mayores a 0° pero menores a 90°

2) Ángulo Rectos: miden exactamente 90°

3) Ángulos obtusos: miden más de 90° pero menos a 180°

4) Ángulo llano: mide exactamente 180°

5) Ángulo entrante: mide más de 180° pero menos de 360°

6) Ángulo perigonal: mide 360°

La clasificación de ángulos según sus características puede ser de dos maneras:

1) Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 90°

2) Ángulos suplementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 180°

T3 y Primer Tema del 5°- Bimestre GEOMETRÍA

Revisaras y veras con calma los siguientes videos y por medio de ellos darás respuesta a las siguientes interrogantes

1) ¿Qué es la geometría?

2) Define los conceptos de punto, línea y recta

3) Explica los conceptos de segmento, semirrecta y rayo

4) ¿Qué es ángulo y cuáles son las unidades en que se mide?

5) ¿Cómo se clasifican según su magnitud, explica cada uno de ellos? Elabora un mapa mental

6) ¿Cómo se clasifican según sus características? Explica cada uno de ellos

7) ¿Cuál es el complemento de los siguientes ángulos?

            a) 45°             b) 20°             c) 60°

8) ¿Cuál es el suplemento de los siguientes?

            a) 100°           b) 150°                        c) 95°

Incluye en tu reporte ilustraciones de lo que se te pide

T1 4B Ecuaciones y Funciones.

Como ya se había comentado en temas anteriores, toda ecuacón aparte de tener una solución numérica es decir, algebraica, también tiene una solución geométrica, ésta representa una imagen la cual al trazarla sobre un plano cartesiano, es posible obtener una representación de dicha ecuación.

Cuando se trata de una ecuación de primer grado la representación que se obtiene sobre el plano cartesiano, corresponde a una línea recta, es por ese motivo que a las ecuaciones de primer grado también se les conoce con el nombre de ecuaciones lineales. Por otra parte y solo como recordatorio, se le llama plano cartesiano, al plano formado por dos rectas numéricas, las cuales se encuentran en forma perpendicular, es decir, forman ángulos retos (90°) a la recta horizontal corresponden los valores de «x» y se le llama eje de las abcsisas, mientras que al eje vertical corrsponden los valores de «y» y se le llama eje de la ordenada; al punto de intersección de los ejes se le conoce con el nombre de origen y se le asigna el valor de «cero», de este punto hacia la derecha se encuentran los valores de «x» positivos, de tal forma que de este punto hacia la izquierda estarán los valores de «x» negativos; del cero hacia arriba los valores de «y» positivos y hacia abajo los negativos

T7 3B Despeje de una incógnita y solución de una ecuación

Al procedimiento el cual consiste en dejar completamente sola o aislada a la incógnita en una ecuación, se le conoce comúnmente con el nombre de despeje, pues se dice que se despeja a la incógnita de todos los elementos que la rodean para conocer cual es el valor que tiene en esa ecuación.

Sin embargo para realizar dicho procedimiento es necesario aplicar el uso de las operaciones contrarias o inversas; es decir, la operación contraria o inversa ala suma es la resta y viceversa, a la multiplicación es la división y aplica de manera contraria y por último la operación contraria a la potencia es la raíz, dependiendo del exponente de la potencia sera el índice de la raíz, esto significa si la potencia es cúbica, la raíz también lo será y al revés si la raíz es cuadrada la potencia también lo será.

Es necesario realizar este procedimiento para conocer el valor de la incógnita y se sugiere comenzar con los términos que se encuentran más alejados de ella; observa los siguientes ejemplos de como despejar la incógnita de una ecuación y hallar su solución.

T.6 3B Grados de una ecuacion

En el álgebra así como en el tema de ecuaciones en particular, existen diferentes grados, los cuales definen el tipo de ecuación de la que se trata existen tantos grados de una ecuación como valores de exponentes que puede llevar cada  una de las ecuaciones también se dice el grado de una ecuación es el que determina el numero de soluciones que tienen dichas ecuación; sin embargo en dato mas sencillo para obtener una ecuación sera: el mayor exponente que contenga la ecuación, el que defina el grado de la misma, esto significa que en caso de que la ecuación contenga mas de exponente en cualquiera de sus variables, únicamente sera el exponente mayor valor el que defina el grado de la misma ( recuerda que en caso de que la ecuación no contenga en ninguna de sus variables un exponente uno «1», de manera imaginaria el cual nos indica el grupo de esta ecuación)

T5 3B Ecuaciones.

Es uno de los principales temas el cual debes aprender no solo para aprobar este bimestre, ya que incluso es necesario para concluir tu educación secundaria de una manera satisfactoria.

Las ecuaciones son para el álgebra uno de los temas mas significativos, pues aparte de permitir el desarrollo cognitivo de nivel superior, nos permiten resolver problemas en los cuales se hace necesario el planteamiento y desarrollo de un pensamiento lógico matemático.

Dicho lo anterior definamos el concepto.

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones.

No necesaria mente tienen que ser las dos expresiones algebraicas, ya que basta con que solo uno de ellas lo sea y el otro termino pueda ser un variable, un valor numérico o una expresión algebraica.

T.4 Ángulos del círculo y la circunferencia

De igual forma que las rectas de la circunferencia son 6 las revisadas en este curso, también lo son los ángulos que aprenderemos y repasaremos a continuación, estos ángulos son del círculo y la circunferencia, ya que algunos están dentro, otros sobre y otros más fuera de ella. Es importante conocerlos pues muy seguramente de este tema se desprenda alguna de las preguntas que contenga el examen de admisión al nivel medio superior.

1) Ángulo central: Este ángulo como su nombre lo indica, tiene su vértice en el centro del círculo y puede estar formado por dos radios o un diámetro y un radio.

«La medida de un ángulo central, es igual al arco comprendido entre sus lados»

2) Ángulo inscrito: Tiene su vértice en un punto sobre la circunferencia y está formado por un par de cuerdas.

«La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados»

3) Ángulo semi-inscrito: Tiene su vértice en un punto sobre la circunferencia y se encuentra formado por una cuerda y una tangente.

«La medida de un ángulo semi-inscito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados»

4) Ángulo interior: Tiene su vértice en un punto dentro de la circunferencia y está formado por dos cuerdas que se cortan.

«La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones»

5) Ángulo exterior: Tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia, es decir exterior a ella y se encuentra formado por dos secantes.

«La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados»

6) Ángulo circunscrito: Tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia, pero este a diferencia del exterior, se encuentra formado por dos tangentes.

«La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados»

T.3 Rectas de la circunferencia

Son 6 las rectas de la circunferencia que contemplamos para el estudio de este curso, cada una de ellas tiene un nombre diferente y características que las distinguen, es importante conocerlas, identificarlas, pues a partir de esto será posible resolver problemas en donde se requiere de estos conocimientos.

1) Radio: Es el segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.

2) Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

3) Diámetro: Es la cuerda de mayor longitud, la cual une dos puntos opuestos de la circunferencia y que además pasa por el centro.

4) Secante: Es la recta que toca en dos puntos a la circunferencia, la atraviesa por completo y sale de ella.

5) Tangente: Es la recta exterior a la circunferencia, y que toca en un sólo punto a la misma.

6) Flecha o sagita: Es la perpendicular trazada desde el punto medio de una cuerda hacia la circunferencia.

T.2 Círculo y circunferencia

Muy común mente hemos utilizado los conceptos de círculo y circunferencia de manera indistinta e incluso como si fueran sinónimos, sin embargo existe una diferencia entre ellos y más hablando en sentido estrictamente matemático; por esté motivo se hace necesario aprender y conocer a que se refiere un concepto y a que hace referencia el otro.

a) Círculo: es la superficie, el espacio o el área que ocupa la figura, la cual se encuentra limitada por la circunferencia, es decir por el contorno de esta.

b) Circunferencia: Se define como el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro, en donde su longitud representa el perímetro del círculo.

RECTAS DE LA CIRCUNFERENCIA.

Son 6 las rectas de la circunferencia que contemplamos para el estudio de este curso, cada una de ellas tiene un nombre diferente y características que las distinguen, es importante conocerlas, identificarlas, pues a partir de esto será posible resolver problemas en donde se requiere de estos conocimientos.

1) Radio: Es el segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.

2) Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

3) Diámetro: Es la cuerda de mayor longitud, la cual une dos puntos opuestos de la circunferencia y que además pasa por el centro.

4) Secante: Es la recta que toca en dos puntos a la circunferencia, la atraviesa por completo y sale de ella.

5) Tangente: Es la recta exterior a la circunferencia, y que toca en un sólo punto a la misma.

6) Flecha o sagita: Es la perpendicular trazada desde el punto medio de una cuerda hacia la circunferencia.

ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

De igual forma que las rectas de la circunferencia son 6 las revisadas en este curso, también lo son los ángulos que aprenderemos y repasaremos a continuación, estos ángulos son del círculo y la circunferencia, ya que algunos están dentro, otros sobre y otros más fuera de ella. Es importante conocerlos pues muy seguramente de este tema se desprenda alguna de las preguntas que contenga el examen de admisión al nivel medio superior.

1) Ángulo central: Este ángulo como su nombre lo indica, tiene su vértice en el centro del círculo y puede estar formado por dos radios o un diámetro y un radio.

“La medida de un ángulo central, es igual al arco comprendido entre sus lados”

2) Ángulo inscrito: Tiene su vértice en un punto sobre la circunferencia y está formado por un par de cuerdas.

“La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados”

3) Ángulo semi-inscrito: Tiene su vértice en un punto sobre la circunferencia y se encuentra formado por una cuerda y una tangente.

“La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados”

4) Ángulo interior: Tiene su vértice en un punto dentro de la circunferencia y está formado por dos cuerdas que se cortan.

“La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones”

5) Ángulo exterior: Tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia, es decir exterior a ella y se encuentra formado por dos secantes.

“La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados”

6) Ángulo circunscrito: Tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia, pero este a diferencia del exterior, se encuentra formado por dos tangentes.

“La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados”

3°- Bimestre. Tema 1 Geometria 3B.T1

Es posible definirla como el arte y la ciencia de la descripción y la medida del espacio. Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las líneas, figuras y cuerpos, incluyendo su teoría y aplicación en las creaciones sobre papel.

Uno leyenda propagada por los autores griegos, atribuye la invención de la geometría a los egipcios y comenta que ésta tubo su origen a la necesidad de volver encontrar los límites de los campos después de las inundaciones del nilo.

Factorización de un Trinomio Cuadrado.

La factorizaciòn de un trinomio cuadrado, corresponde a la factorizaciòn de productos de binomios con término común, es importante recalcar que este tipo de binomios, sólo tiene como su nombre lo indica un solo término común, por lo tanto este trinomio únicamente el primer término tendrá raíz cuadrada exacta, la siguiente expresión es un ejemplo de este tipo de trinomios:

a + 7a + 10=

Observen que sólo el primer término a  tiene raíz exacta, para obtener la factorizaciòn de dicho trinomio es necesario seguir los siguientes pasos:

1) Obtener la raíz del primer término (esto es buscar el número o la expresión que al multiplicarse por si mismo, nos de como resultado el producto buscado)

2) Buscar una pareja de números que al multiplicarse nos de como resultado el tercer término, pero que esos mismos números, al sumarse o restarse nos den como resultado el segundo término.

3) Por ultimo hay que acomodar los signos que llevara cada uno de los factores y para esto existen diferentes posibilidades, ya sea que los signos sean iguales en ambos factores o diferentes, para el caso de que sean iguales , estos pueden ser los dos positivos o los dos negativos y en el caso de que sean diferentes habría que saber en donde va el positivo y en donde el negativo.

Para poder acomodar los signos correctamente, seguimos los siguientes pasos :

a) Primero te fijas en el tercer signo del trinomio, si este es positivo, significa que los signos en los factores son iguales, pero en caso de que este sea negativo, significa que los signos en los factores son diferentes.

b) Si los signos son iguales, nos debemos fijar en el segundo signo del trinomio, ya que si este es positivo, los signos en los factores también lo serán, esto significa que si el segundo signo del trinomio es negativo, los signos en los factores serán negativos.

c) En el caso de que el tercer signo del trinomio sea negativo, los signos en los factores serán diferentes, para tal caso nos fijamos en el segundo signo del trinomio, ya que este nos indicara el signo del numero mayor.

Observa con atención los ejemplos:

a)

Factorización de una diferencia de cuadrados.

Una diferencia de cuadrados, corresponde al resultado de la multiplicación del producto de binomios conjugados, recuerda que el producto de binomios conjugados es la multiplicación de expresiones con los mismos términos y donde la única diferencia es el signo entre cada uno de los factores; es decir en un factor el signo es positivo y en otro el signo es negativo. Observa

(a + b) (a – b)

El resultado de productos conjugados es igual a elevar al cuadrado el primer término menos el cuadrado del segundo término, esto es

a – b

Al resultado anterior se le conoce como  «Diferencia de Cuadrados» para obtener la factorización de dicho producto, se siguen los siguientes pasos:

1)

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

La palabra factorización hace referencia a una de las 4 operaciones básicas de la aritmética, hablamos de la Multiplicación; en temas anteriores como los productos notables se trabajo con multiplicaciones o productos de expresiones algebraicas las cuales son posibles de resolver por simple inspección, los productos notables que se trabajaron fueron: Binomio al cuadrado, Binomios conjugados y Binomios con término común, ahora corresponde estudiar y aprender la factorización de cada uno de estos tres productos notables y comenzaremos con la factorización de un trinomio cuadrado perfecto; la factorización es el proceso inverso a los productos notables, es decir, en los temas anteriores se te pedía el resultado de una multiplicación de expresiones algebraicas, ahora en la factorización se te da el resultado y tu tienes que encontrar que multiplicación de expresiones algebraicas corresponde a dicho resultado.

Un trinomio cuadrado perfecto, es el resultado de un binomio al cuadrado, esto significa que:

                                  a² + 2ab + b² = (a + b)²  

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica formada por 3 términos en donde los dos términos de los extremos, tienen raíz cuadrada exacta, por tal motivo para obtener la factorización de dicha expresión, es necesario observar primero si estos términos cumplen con esa condición, la factorización se podara obtener mediante los siguientes pasos:

1) Obtener la raíz cuadrada del primer término.

2) Respetar el signo que antecede al segundo término.

3) Obtener la raíz cuadrada del tercer término.

4) Esta expresión deberá colocarse entre paréntesis y todo elevarlo al cuadrado.

Para obtener la raíces cuadradas tanto del primer como del tercer término, sólo debes buscar la expresión algebraica que al multiplicarla por si mismo te de como resultado el producto buscado. Observa con atención el ejemplo. Factorizar  el siguiente trinomio cuadrado perfecto.

                                                       9m⁴ – 12m²n² + 4n⁴ =

1) Raíz cuadrada del primer término 9m⁴ = 3m²

2) Respetar signo que antecede al segundo término = –

3) Raíz cuadrada del tercer término 4n⁴ = 2n²

4) Colocar estos resultados dentro de paréntesis y elevarlos al cuadrado.

                                                             (3m² – 2n²)²

Binomios con término común

Los binomios con término común es el último de los tres productos notables que estudiaremos, como su nombre lo indica es el producto de dos binomios los cuales sólo tienen en común un sólo término, su forma general es la siguiente:

( a + b )  ( a + c )

Observen que se trata del producto de dos binomios, los cuales tienen en común el término «a» y los términos NO comunes son los términos «b, c». El producto de binomios con término común es un trinomio cuadrado, para lo cual existe una regla de 3 pasos en donde cada paso nos da un término de dicho trinomio.

1) El cuadrado del término común.

2) La suma de los términos NO comunes, por el término común.

3) El producto de los términos NO comunes.

Ejemplo:

( 2x + 3)  ( 2x – 6 )= 4x² -6x -18

1) ( 2x ) ( 2x )= 4x²

2) 3 – 6 = -3 ( 2x )= -6x

3) ( 3 ) ( -6 )= -18

http://www.youtube.com/watch?v=Rmpinq1Gx3Q

http://www.youtube.com/watch?v=h-66PsmLrcg